Таблиця похідних – Повний довідник для школярів і студентів

Таблиця похідних — це важливий інструмент у математиці, який дозволяє швидко знаходити похідні різних функцій. Насамперед, вона є основою для розв’язання складніших завдань у шкільній програмі та у вищій математиці. Завдяки їй учні та студенти можуть краще зрозуміти поняття зміни величин.

Що таке таблиця похідних

Таблиця похідних — це перелік основних функцій та їхніх похідних. Іншими словами, це довідник, який показує, як змінюється функція залежно від її змінної. Наприклад, похідна від x2x^2×2 — це 2x2x2x. Саме такі співвідношення й містяться у таблиці.

Для чого потрібна таблиця похідних

Вона дозволяє значно швидше розв’язувати математичні задачі. Замість того, щоб кожного разу виводити похідну вручну, можна просто знайти її у таблиці. Таким чином, таблиця економить час і знижує ймовірність помилок.

Основні правила похідних у таблиці похідних

Щоб користуватися таблицею ефективно, потрібно знати базові правила. Наприклад, похідна від суми функцій дорівнює сумі похідних. Також важливо пам’ятати, що похідна сталої дорівнює нулю. Подібні правила використовуються у таблиці щодня.

Похідні елементарних функцій

У таблиці похідних наведені похідні для найпоширеніших функцій:

• ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}dxd​xn=nxn−1
  
• ddxsin⁡x=cos⁡x\frac{d}{dx}\sin x = \cos xdxd​sinx=cosx
  
• ddxcos⁡x=−sin⁡x\frac{d}{dx}\cos x = -\sin xdxd​cosx=−sinx
  
• ddxex=ex\frac{d}{dx}e^x = e^xdxd​ex=ex
  
• ddxln⁡x=1x\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}dxd​lnx=x1​
  

Ці формули вивчають на початку вивчення похідних.

Таблиця похідних тригонометричних функцій

Тригонометричні функції мають свої особливі похідні. Наприклад:

• ddxtan⁡x=1cos⁡2x\frac{d}{dx}\tan x = \frac{1}{\cos^2 x}dxd​tanx=cos2x1​
  
• ddxcot⁡x=−1sin⁡2x\frac{d}{dx}\cot x = -\frac{1}{\sin^2 x}dxd​cotx=−sin2x1​
  
• ddxsec⁡x=sec⁡xtan⁡x\frac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan xdxd​secx=secxtanx
  
• ddxcsc⁡x=−csc⁡xcot⁡x\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x \cot xdxd​cscx=−cscxcotx
  

Ці формули можна легко знайти в таблиці похідних, що дуже зручно.

Таблиця похідних логарифмічних функцій

Логарифмічні функції також мають похідні:

• ddxln⁡x=1x\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}dxd​lnx=x1​
  
• ddxlog⁡ax=1xln⁡a\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x \ln a}dxd​loga​x=xlna1​
  

Такі вирази зустрічаються в задачах з фізики, економіки та інформатики.

Таблиця похідних показникових функцій

Показникові функції мають дуже прості похідні:

• ddxex=ex\frac{d}{dx}e^x = e^xdxd​ex=ex
  
• ddxax=axln⁡a\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln adxd​ax=axlna
  

У фізичних задачах часто використовують саме ці похідні.

Таблиця похіднихх складених функцій

Коли функція містить іншу функцію, її похідна обчислюється за правилом добутку або ланцюговим правилом:

• ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)dxd​f(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)
  

У таблиці похідних є формули для таких випадків, і це значно полегшує обчислення.

Як користуватися таблицею похідних

Щоб правильно користуватись таблицею, потрібно:

1. Визначити вид функції (степенева, тригонометрична тощо).
   
2. Знайти її в таблиці.
   
3. Застосувати відповідну формулу.
   

Таким чином, розв’язання задач стає швидким та ефективним.

Приклади використання таблиці похідних

Приклад 1:
Знайти похідну від x3x^3×3.
Використовуємо таблицю: ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}dxd​xn=nxn−1.
Отже, ddxx3=3×2\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2dxd​x3=3×2.

Приклад 2:
Знайти похідну від sin⁡x⋅ln⁡x\sin x \cdot \ln xsinx⋅lnx.
Згідно з таблицею похідних і правилом добутку:
(sin⁡x⋅ln⁡x)′=cos⁡x⋅ln⁡x+sin⁡x⋅1x(\sin x \cdot \ln x)’ = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}(sinx⋅lnx)′=cosx⋅lnx+sinx⋅x1​

Роль таблиці похідних у навчанні

У навчальному процесі таблиця похіднихх відіграє ключову роль. Вона дозволяє студентам зосередитися на розумінні процесу, а не на складних обчисленнях. Крім того, таблиця сприяє розвитку логічного мислення.

Таблиця похідних у фізиці та інформатиці

У фізиці похідні використовують для опису швидкості та прискорення. В інформатиці вони застосовуються у машинному навчанні та аналізі даних. Таблиця похідних допомагає швидко обчислити необхідні значення.

Поради для вивчення таблиці похідних

Щоб швидко вивчити таблицю похідних, слід:

• Розділити формули за типами.
  
• Використовувати флеш-картки.
  
• Розв’язувати приклади з кожного виду функцій.
  

Також дуже корисно практикуватися щодня — навіть 10 хвилин на день дадуть чудовий результат.

Помилки, яких слід уникати при використанні таблиці похідних

Деякі типові помилки:

• Забування про правило ланцюга при складених функціях.
  
• Неправильне застосування формули.
  
• Ігнорування особливостей тригонометричних функцій.
  

Завдяки уважності та регулярній практиці цих помилок можна уникнути.

Друкована таблиця похіднихх

Наявність друкованої таблиці під рукою значно полегшує навчання. Вона може бути частиною підручника або окремою шпаргалкою. Рекомендується прикріпити її до зошита чи настінної дошки для щоденного повторення.

Онлайн таблиця похіднихх

У сучасному світі багато учнів користуються онлайн-ресурсами. Існують мобільні додатки та сайти, де можна легко знайти будь-яку похідну. Таким чином, таблиця похідних завжди доступна в смартфоні.

Використання таблиці похідних на ЗНО

На ЗНО (Зовнішньому незалежному оцінюванні) часто трапляються завдання, де потрібно обчислити похідну. Хоча таблицю похідних не дозволяють мати при собі, знання її формул є великою перевагою для швидкого розв’язання тестів.

Таблиця похідних як основа вищої математики

У вищій математиці таблиця похідних є базовим інструментом. Вона необхідна для інтегрування, побудови графіків, розв’язання диференціальних рівнянь. Без її знання неможливо успішно навчатись на технічних та економічних спеціальностях.

Висновок

Таблиця похідних — це потужний інструмент, який допомагає розуміти та обчислювати зміну величин. Вона спрощує навчання, робить математику доступнішою й допомагає краще готуватися до іспитів. Знаючи таблицю, ви відкриєте двері до вищої математики, фізики, інформатики й економіки.

Читати далі: ГДЗ англ мова 7 клас – Відповіді онлайн для швидкого навчання

Часті запитання: Таблиця похідних